|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Wat zijn complexe getallen?
de goniometrische vorm van z2 - z
met z = cos∂ + i sin ∂
Gewoon invullen!
(cos∂+i·sin∂)2-cos∂+i·sin ∂
= cos2∂+2·i·sin∂·cos∂-sin2∂-cos∂·+i·sin∂
= 2·cos2∂-1-cos∂+i·(2sin∂cos∂-sin∂)
Maar hiervan zou dan nog de modulus en het argument moeten berekend worden. Kunnen jullie mij hiermee helpen?
Antwoord
Weet wel dat je schrijft:
z=cosq+i.sinq
normaliter is dat namelijk
z=r.(cosq+i.sinq) met r=|z|
maargoed, ik ga ervanuit dat je je niet vergist hebt en dat z=cosq+i.sinq
Hoe kun je de absolute waarde bepalen van z2+z ?
Ik zou als volgt te werk gaan:
Je weet dat je een complex getal z ook in poolcoordinaten kunt schrijven, namelijk:
z = |z|.ei.arg(z)
verder geldt dat bij vermenigvuldiging van 2 complexe getallen z en w geldt:
z.w = |z|.|w|.ei.(argz + argw)
welnu, z2+z kun je schrijven als z(z+1), en
z(z+1)=|z|.|z+1|.ei.(argz + arg(z+1))
dus de absolute waarde van z2+z is |z|.|z+1|
|z|= (z.z*)
= (cosq + isinq)(cosq - isinq)
= (cos2q + sin2q) = 1 = 1
|z+1| = ((z+1).(z+1)*)
= (cosq+1 + isinq)(cosq+ 1 - isinq)
= ((cosq +1)2 + sin2q)
= (cos2q + 2cosq+1 + sin2q)
= (2cosq + 2) = (2(cosq + 1))
dus |z|.|z+1|= (2(cosq + 1))
**************************
Nu het argument van z2+z.
Voor het argument hiervan kan geen uitdrukking worden opgesteld, maar van de tangens ervan, wèl.
z=cosq+i.sinq
z2+z = (cosq+i.sinq)2 + cosq+i.sinq
= cos2q + 2i.sinq.cosq - sin2q + cosq + i.sinq
= cos2q-sin2q+cosq + i(2sinqcosq + sinq)
= cos2q + cosq + i(sin2q + sinq)
waarbij ik gebruik gemaakt heb van de verdubbelingsformules
sin2q=2sinqcosq, en
cos2q=cos2q - sin2q
noem g het argument van z2+z, dan geldt dus
tang = (sin2q + sinq)/(cos2q + cosq)
groeten,
Martijn
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
